证明卷叠衣物比折叠更省空间。

说到出行打包，有两种方法争论不休：卷叠和平铺（折叠）。问题很简单：哪种方法能在一个符合TSA规定的随身行李箱里塞进更多套衣服？我最近出行频繁，烦到不得不认真研究这个问题。答案是卷叠，下面我来证明。

本文假设行李箱尺寸符合TSA标准：$56 \text{ cm} \times 36 \text{ cm} \times 23 \text{ cm}$，总容积为 $V_{\text{case}} = 46,464 \text{ cm}^3$。

体积比较

平铺折叠法

平铺折叠时，假设各件衣物尺寸如下：

• 衬衫：$25 \text{ cm} \times 25 \text{ cm} \times 1 \text{ cm}$
• 裤子：$30 \text{ cm} \times 40 \text{ cm} \times 1.5 \text{ cm}$
• 袜子：$10 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} \times 1 \text{ cm}$（一双）
• 内裤：$20 \text{ cm} \times 20 \text{ cm} \times 0.5 \text{ cm}$

折叠法下，一套衣服的总体积为：

$V_{\text{outfit, layering}} = 625 \text{ cm}^3 \text{（衬衫）} + 1800 \text{ cm}^3 \text{（裤子）} + 200 \text{ cm}^3 \text{（袜子）} + 200 \text{ cm}^3 \text{（内裤）} = 2825 \text{ cm}^3$

卷叠法

卷叠后各件衣物的假设尺寸如下：

• 衬衫卷叠后：半径 $3.5 \text{ cm}$、高度 $9 \text{ cm}$ 的圆柱体
• 裤子卷叠后：半径 $5 \text{ cm}$、高度 $10 \text{ cm}$ 的圆柱体
• 袜子：半径 $2 \text{ cm}$、高度 $4 \text{ cm}$ 的圆柱体
• 内裤：半径 $3 \text{ cm}$、高度 $2 \text{ cm}$ 的圆柱体

卷叠法下，一套衣服的总体积为：

$V_{\text{outfit, rolling}} = 402.12 \text{ cm}^3 + 785.4 \text{ cm}^3 + 2 \times 100.53 \text{ cm}^3 + 56.52 \text{ cm}^3 = 1445.1 \text{ cm}^3$

直接比较

卷叠法胜出：每套衣服仅占 $1445.1 \text{ cm}^3$，而折叠法需要 $2825 \text{ cm}^3$。

pari passu 地看，假设任何衣物都可以卷叠，无论你代入什么具体数值（$V_{\text{shirt}}$、$V_{\text{pants}}$ 等），卷叠法始终占用更少空间。

QED。

把这个例子推向极致……

既然卷叠更高效，那就继续深挖。出行时我追求实用，裤子会重复穿。

我一般只穿纯色衬衫和裤子，最大化每件衣物之间的搭配兼容性，让每件单品都物尽其用。

假设裤子可以重复穿，且有无限供应的可互搭衬衫和裤子，我可以定义函数 $B(d)$，用于计算出行 $d$ 天所需的最优行李箱数量。该函数综合考虑一个箱子能装下的最优套数 $O$，以及一条裤子可以重复穿的次数 $r$。

目标仍然是在行李箱容积 $V_{\text{case}} = 46,464 \, \text{cm}^3$ 的约束下，最大化可组合的套数 $O$。公式如下：

$O = \left\lfloor \frac{V_{\text{case}}}{r \times V_{\text{pants}} + V_{\text{shirt}} + 2 \times V_{\text{socks}} + V_{\text{boxers}}} \right\rfloor$

出行 $d$ 天所需的裤子数量 $P$ 为 $\lceil \frac{d}{r} \rceil$。

函数 $B(d)$ 定义为：

$B(d) = \left\lceil \frac{d + \lceil \frac{d}{r} \rceil}{O} \right\rceil$

其中 $\lceil x \rceil$ 表示向上取整。

这个函数根据出行天数 $d$ 和裤子重复穿次数 $r$，告诉你需要几个行李箱。这给出了符合TSA随身行李规定的最优_服装打包方案_。

结论

通过体积计算和一点微积分，卷叠法在往TSA认可的随身行李箱里塞更多套衣服这件事上完胜折叠法。理论上，卷叠法最多可以装下32套完整衣服——当然你得使劲压。

加入裤子重复穿这样的基本创新，函数 $B(d)$ 为打包问题增添了全新的优化维度（此处”维度”为字面意思）。我们不仅能找到一个箱子的最优套数，还能确定任意出行天数所需的行李箱数量。这让你的打包不只是高效，而是数学意义上的最优。

不客气。